Perfectamente podríamos estar hablando de la mítica película «Los intocables de Eliot Ness» pero hoy los que serán intocables serán unos números.

Un número entero positivo se dice intocable si NO es la suma de los divisores propios de ningún número.

Quiero recordar que los divisores propios de un número son todos los números que dividen a dicho número exceptuando al propio número.

Una vez aclarado este concepto, veamos algunos ejemplos de números intocables.

  • 2 es intocable de manera «trivial».
  • no es intocable, ya que es la suma de los divisores propios de 4 (1+2 = 3).
  • no es intocable, ya que es la suma de los divisores propios de 9 (1+3 = 4).
  • 5 es intocable: en efecto, 5 = 1+4 es la única manera de escribir 5 como suma de enteros positivos diferentes incluyendo al 1 (el 1 divide a todo número), pero si 4 divide a un entero m, entonces 2 también divide a m. Por tanto, 5 = 1 + 4 no corresponde a la suma de los divisores propios de ningún entero.
  • 6 no es intocable, ya que es la suma de los divisores propios de 6 (1+2+3 = 6).

Si continuamos dicho proceso, podemos decir que los primeros números intocables son:

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, 516, 518, 520, 530, 540, 552, 556, 562, 576, 584, 612, 624, 626, 628, 658, 668, 670, 708, 714, 718, 726, 732, 738, 748, 750, 756, 766, 768, 782, 784, 792, 802, 804, 818, 836, 848, 852, 872, 892, 894, 896, 898, 902, 926, 934, 936, 964, 966, 976, 982, 996,…

Como curiosidad, podemos observar que en este listado, salvo el número 5, el resto son pares. De hecho, hay una demostración de Frank Adam-Watters (2006) que concluye que el único número impar intocable es el 5 pero…¿hay un pero a una demostración?.

En este caso sí pues dicha demostración se fundamenta en la Conjetura de Goldbach (aún no demostrada, por ahora).

Y hablando de la conjetura más famosa de las matemáticas, termina esta nueva curiosidad del Rincón Matemático de Sherlock221.

José Emilio López García
Profesor de Matemáticas

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