Seguramente muchos han reconocido esta bella sucesión muy presente en la naturaleza: en las escamas de una piña, las pipas de girasol, las ramas de los árboles, en las medidas del cuerpo humano, en los violines,… 

Efectivamente hoy hablaremos sobre la sucesión de Fibonacci.

Su descubridor fue Leonardo de Pisa, un matemático italiano que, entre otras aportaciones, difundió en Europa el uso de las cifras árabes frente a la numeración romana.

Leonardo de Pisa ( 1170-1250)

Pero volvamos a su famosa sucesión que enunció como solución a un problema de cría de conejos. El problema decía así: ¿Cuántas parejas de conejos tendremos a fin de año, si comenzamos con una pareja que produce cada mes otra pareja que procrea a su vez a los dos meses de vida?

Su solución, esquemáticamente, fue:

 Y aunque sea un modelo artificial en el caso de estos animales (pues biológicamente no es estrictamente cierto) dió lugar a esta famosa sucesión. Si comentar que sí se cumple a la perfección en el modelo reproductivo de las abejas.

Para obtener el resto de términos de la sucesión basta con sumar los 2 anteriores. Es decir, la sucesión de Fibonacci es:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

Y una vez presentada la sucesión de Fibonacci, vamos a conocer alguna de las curiosidades que encierra:

1.- Uno de cada tres términos es par y uno de cada cinco es múltiplo de 5.

2.- El MCD de dos números Fibonacci siempre será otro número Fibonacci. Por ejemplo:

MCD ( 34, 55 ) = 1
MCD ( 34, 144 ) = 2
MCD ( 8, 144 ) = 8

3.- Si cogemos los números de la sucesión
de dos en dos y los dividimos nos encontramos con una progresión que se acerca cada vez más al número 1,618, conocido como número áureo o número de oro.

\frac {34}{21} = 1,619047619
\frac {55}{34} = 1,6176470588
\frac {89}{55} = 1,6181818182

4.- Si se coge cualquier término de la sucesión, se multiplica por 4 y se le suma el término que hay tres lugares antes de él, el resultado es el término ubicado tres lugares después de él. Por ejemplo:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
5 \bullet 4 + 1 = 21
21 \bullet 4 + 5 = 89
34 \bullet 4 + 8 = 144

5.- El cuadrado de un término cualquiera es igual al producto de los términos anterior y posterior aumentado o disminuido en una unidad. Por ejemplo:

5^2=3 \bullet 8 + 1
13^2=8 \bullet 21 + 1
55^2=34 \bullet 89 – 1

6.- Todo número entero positivo puede representarse de forma única como suma de números de Fibonacci  distintos, de tal forma que dicha representación no contiene dos números de Fibonacci consecutivos (Teorema de Zeckendorf). Por ejemplo:

2021 = 1597 + 377 + 34 + 13
1111 = 987 + 89 + 34 + 1

Y para finalizar esta pequeña reseña sobre la sucesión de Fibonacci os dejo con un espectacular vídeo de Cristóbal Vila.

José Emilio López García
Profesor de Matemáticas

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