En estos tiempos donde empezamos de nuevo a sociabilizar (de manera segura, espero) quiero hablar de la amistad entre números. ¿En serio?. Pues sí, hoy hablaremos de números amigos.

Dos números amigos son dos números enteros positivos a y b tales que la suma de los divisores propios de uno es igual al otro número y viceversa (la unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo número).

Veremos como ejemplo, la pareja de números amigos más pequeña y «famosa» que existe (220 y 284).

Divisores propios de 220 son:

\textcolor{red}{1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55} \space y \space \textcolor{red}{110}
\Longrightarrow \textcolor{blue}{SUMA=284}

Divisores propios de 284 son:

\textcolor{red}{1, 2, 4, 71,} \space y \space \textcolor{red}{142}
\Longrightarrow \textcolor{blue}{SUMA=220}

Este par de números amigos (220, 284) ya era conocido por los pitagóricos, quienes les atribuían propiedades místicas.

Como anécdota contaré una leyenda:

Cuenta una leyenda que había un sultán aficionado a los puzzles, que al descubrir que tenía a un matemático como prisionero, decidió plantearle la siguiente cuestión.

El sultán le dijo al matemático que le planteara un reto y que estaría libre durante el tiempo que él necesitara para resolverlo, pero una vez resuelto por el sultán, el matemático sería ejecutado.

El matemático le explicó que los números 220 y 284 son números amigos, y le planteó que buscara otro par de números amigos. El sultán no lo consiguió y el matemático murió de viejo y siendo un hombre libre.

De hecho, calcular más pares de números amigos no es fácil. Muchos matemáticos árabes estudiaron los números amigos como el iraquí Thabit ibn Qurra (826-901) quien dio una fórmula para obtener números amigos.

Thabit ibn Qurra

En particular, obtuvo tres nuevos pares de números amigos:

\textcolor{red}{(1184,1210)},\textcolor{red}{(17.296, 18.416)}
y \space \textcolor{red}{(9.363.584, 9.437.056)}

Grandes matemáticos (Fermat, Descartes, Euler,…) estudiaron los números amigos pero, cabe destacar, que hasta 1946 solo se consiguieron descubrir 390 pares de números amigos.

La aparición de los ordenadores y su potencia de cálculo, que junto a nuevos algoritmos, ha permitido calcular muchas parejas de números amigos pero sin embargo, no se sabe si existen infinitos pares de números amigos.

Parejas de números amigos hasta 20000000

Te podría invitar a que compruebes la amistad de alguna de estas parejas de números amigos pero prefiero que cuides a tus amigos como hace el 220 con su querido 284.

José Emilio López García
Profesor de Matemáticas

Una idea en “¡¡¡Amigos eternos!!!”

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